553. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, равна 8 см, а радиус окружности, описанной около него, – 5 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, а BH - высота, проведенная к основанию AC, BH = 8 см. Радиус описанной окружности R = 5 см. Нужно найти боковую сторону AB.

1. Обозначим боковую сторону AB = BC = x, а основание AC = 2y.

2. Так как BH - высота, то AH = HC = y.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора:

   $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

   $$x^2 = y^2 + 8^2$$

   $$x^2 = y^2 + 64$$

   $$y^2 = x^2 - 64$$

   $$y = \sqrt{x^2 - 64}$$

4. Воспользуемся формулой для радиуса описанной окружности:

   $$R = \frac{abc}{4S}$$

   где a, b, c - стороны треугольника, S - его площадь.

5. В нашем случае:

   $$5 = \frac{x \cdot x \cdot 2y}{4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2y \cdot 8}$$

   $$5 = \frac{2x^2y}{16y}$$

   $$5 = \frac{x^2}{8}$$

   $$x^2 = 40$$

   $$x = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$$

6. Подставим найденное значение x в выражение для y:

   $$y = \sqrt{(2\sqrt{10})^2 - 64}$$

   $$y = \sqrt{40 - 64} = \sqrt{-24}$$

Так как y - мнимое число, то задача не имеет решения в вещественных числах. Вероятно, в условии ошибка и радиус окружности больше высоты.

Ответ: нет решения