552. Основание равнобедренного тупоугольного треугольника равно 24 см, а радиус окружности, описанной около него, - боковую сторону треугольника.

По условию, основание равнобедренного тупоугольного треугольника равно 24 см, а радиус описанной окружности равен 13 см. Нужно найти боковую сторону треугольника.

Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AB = BC), AC = 24 см - основание, R = 13 см - радиус описанной окружности. Высота, проведенная из вершины B, также является медианой, поэтому AH = HC = 12 см.

Обозначим боковую сторону AB = x. Тогда, по теореме косинусов, для тупоугольного треугольника имеем: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos(\angle ABC)$$. $$24^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot cos(\angle ABC)$$. $$576 = 2x^2 - 2x^2 \cdot cos(\angle ABC)$$

По формуле радиуса описанной окружности: $$R = \frac{abc}{4S}$$, где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника. Площадь треугольника можно выразить как полупроизведение основания на высоту: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$$, где BH - высота, проведенная к основанию AC.

Высоту BH можно найти из прямоугольного треугольника ABH: $$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{x^2 - 12^2} = \sqrt{x^2 - 144}$$. Тогда площадь $$S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot \sqrt{x^2 - 144} = 12 \cdot \sqrt{x^2 - 144}$$.

Подставляем в формулу радиуса: $$13 = \frac{x \cdot x \cdot 24}{4 \cdot 12 \cdot \sqrt{x^2 - 144}}$$. $$13 = \frac{24x^2}{48 \sqrt{x^2 - 144}}$$. $$13 = \frac{x^2}{2 \sqrt{x^2 - 144}}$$. $$26 \sqrt{x^2 - 144} = x^2$$

Возведем обе части в квадрат: $$676(x^2 - 144) = x^4$$. $$676x^2 - 97344 = x^4$$. $$x^4 - 676x^2 + 97344 = 0$$

Пусть $$y = x^2$$, тогда $$y^2 - 676y + 97344 = 0$$. Решим квадратное уравнение относительно y: $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$. $$y = \frac{676 \pm \sqrt{676^2 - 4 \cdot 97344}}{2}$$. $$y = \frac{676 \pm \sqrt{456976 - 389376}}{2}$$. $$y = \frac{676 \pm \sqrt{67600}}{2}$$. $$y = \frac{676 \pm 260}{2}$$

Получаем два возможных значения для y: $$y_1 = \frac{676 + 260}{2} = \frac{936}{2} = 468$$, $$y_2 = \frac{676 - 260}{2} = \frac{416}{2} = 208$$.

Теперь найдем x: $$x_1 = \sqrt{468} = 6\sqrt{13}$$, $$x_2 = \sqrt{208} = 4\sqrt{13}$$.

Ответ: $$6\sqrt{13}$$ см или $$4\sqrt{13}$$ см.