13. Основанием правильной треугольной пирамиды MABC служит треугольник ABC со стороной 2√3. Ребро MA перпендикулярно грани MBC. Через вершину пирамиды M и середины рёбер AC и BC проведена плоскость α. a) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью α является равносторонним треугольником. b) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.

a) Пусть K - середина AC, L - середина BC. Тогда KL || AB и KL = 1/2 AB = √3. Плоскость α проходит через точки M, K, L. Так как MA перпендикулярно (MBC), то MA перпендикулярно ML и MK. Рассмотрим треугольник MAK: AK = √3 (половина стороны правильного треугольника), MK = √(MA^2 + AK^2). Рассмотрим треугольник MAL: BL = √3, ML = √(MA^2 + BL^2). Так как AK = BL = √3, то MK = ML, значит треугольник MKL равнобедренный. Докажем, что MK = KL = ML = √3. Так как треугольник ABC правильный, то все его стороны равны 2√3, и высота равна (2√3 * √3)/2 = 3. Тогда радиус описанной окружности вокруг треугольника ABC равен (2/3) * 3 = 2. По условию, MA перпендикулярно MBC, значит, MA - высота пирамиды. Не хватает данных, чтобы определить MA, поэтому общее решение составить сложно. б) Найдем расстояние от вершины A до плоскости α. Нужны дополнительные данные (значение MA) для точного решения.