3. Основания трапеции равны 7 и 49, одна из боковых сторон равна 18, а косинус угла между ней и одним из оснований равен 2/10 7 Найдите площадь трапеции.

Пусть трапеция ABCD, основания BC = 7, AD = 49, боковая сторона AB = 18, косинус угла между AB и AD равен $$ \frac{2\sqrt{10}}{7}$$.

Опустим высоту BH на AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH.

$$AH = AB \cdot cos(\angle BAH) = 18 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{7} = \frac{36\sqrt{10}}{7}$$

Тогда $$sin(\angle BAH) = \sqrt{1 - cos^2(\angle BAH)} = \sqrt{1 - (\frac{2\sqrt{10}}{7})^2} = \sqrt{1 - \frac{40}{49}} = \sqrt{\frac{9}{49}} = \frac{3}{7}$$

$$BH = AB \cdot sin(\angle BAH) = 18 \cdot \frac{3}{7} = \frac{54}{7}$$

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{7 + 49}{2} \cdot \frac{54}{7} = \frac{56}{2} \cdot \frac{54}{7} = 28 \cdot \frac{54}{7} = 4 \cdot 54 = 216$$

Ответ: 216