404. Пересекаются ли окружность х²+ y² = 9 и гипербола ху Если пересекаются, то сколько общих точек они имеют?

Определим, пересекаются ли окружность $$x^2 + y^2 = 9$$ и гипербола $$xy = 7$$. Если пересекаются, укажем количество общих точек.

Выразим $$y$$ из уравнения гиперболы: $$y = \frac{7}{x}$$. Подставим в уравнение окружности:

$$x^2 + \left(\frac{7}{x}\right)^2 = 9$$

$$x^2 + \frac{49}{x^2} = 9$$

$$x^4 + 49 = 9x^2$$

$$x^4 - 9x^2 + 49 = 0$$

Обозначим $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 9t + 49 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 49 = 81 - 196 = -115$$

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики окружности и гиперболы не пересекаются.

Ответ: Окружность и гипербола не пересекаются, общих точек нет.