409. При каких значениях а решением системы уравнений {x + y = a + 1, 3x - y = a - 1 является пара положительных чисел?

Для решения данной задачи необходимо найти такие значения параметра a, при которых решением системы уравнений:

{x + y = a + 1,

3x - y = a - 1

является пара положительных чисел, то есть x > 0 и y > 0.

Сложим два уравнения системы:

x + y + 3x - y = a + 1 + a - 1

4x = 2a

x = a / 2

Теперь выразим y через x из первого уравнения:

y = a + 1 - x = a + 1 - a/2 = a/2 + 1

Таким образом, решением системы является пара (a/2, a/2 + 1). Для того чтобы пара чисел была положительной, должны выполняться условия:

x = a / 2 > 0

y = a / 2 + 1 > 0

Решаем первое неравенство:

a / 2 > 0

a > 0

Решаем второе неравенство:

a / 2 + 1 > 0

a / 2 > -1

a > -2

Итак, необходимо, чтобы выполнялись оба условия: a > 0 и a > -2. Очевидно, что a > 0 является более сильным условием, поэтому окончательным ответом будет a > 0.

Ответ: a > 0.