404. Пересекаются ли окружность x² + y² = 9 и гипербола xy = −3? Если пересекаются, то сколько общих точек они имеют?

Чтобы определить, пересекаются ли окружность и гипербола, нужно решить систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ xy = -3 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим y: y = -3/x. Подставим в первое уравнение:

$$ x^2 + \left(-\frac{3}{x}\right)^2 = 9 $$ $$ x^2 + \frac{9}{x^2} = 9 $$ $$ x^4 + 9 = 9x^2 $$ $$ x^4 - 9x^2 + 9 = 0 $$

Пусть t = x², тогда уравнение примет вид:

$$ t^2 - 9t + 9 = 0 $$

Решим квадратное уравнение относительно t:

$$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 81 - 36 = 45 $$ $$ t_1 = \frac{9 + \sqrt{45}}{2} = \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2} $$ $$ t_2 = \frac{9 - \sqrt{45}}{2} = \frac{9 - 3\sqrt{5}}{2} $$

Оба значения t положительные, значит, есть четыре значения x (два положительных и два отрицательных). Следовательно, и четыре значения y.

Ответ: Окружность и гипербола пересекаются в 4 точках.