405. Сколько общих точек имеют окружность и прямая: a) x² + y² = 9, y = 2x + 3; б) x² + y² = 7, y − 4x = 2;

a) Система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ y = 2x + 3 \end{cases} $$

Подставим y во первое уравнение:

$$ x^2 + (2x + 3)^2 = 9 $$ $$ x^2 + 4x^2 + 12x + 9 = 9 $$ $$ 5x^2 + 12x = 0 $$ $$ x(5x + 12) = 0 $$

x₁ = 0, x₂ = -12/5 = -2.4

Для x₁ = 0: y₁ = 2 * 0 + 3 = 3

Для x₂ = -2.4: y₂ = 2 * (-2.4) + 3 = -4.8 + 3 = -1.8

Две точки пересечения: (0, 3) и (-2.4, -1.8).

б) Система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 7 \\ y - 4x = 2 \end{cases} $$

Выразим y: y = 4x + 2

Подставим во первое уравнение:

$$ x^2 + (4x + 2)^2 = 7 $$ $$ x^2 + 16x^2 + 16x + 4 = 7 $$ $$ 17x^2 + 16x - 3 = 0 $$ $$ D = 16^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-3) = 256 + 204 = 460 $$

Два корня, значит, и две точки пересечения.

Ответ: а) 2 общие точки, б) 2 общие точки.