2. Первая машина почистит каток за 20 мин, вторая за 30 мин. За сколько минут они почистят его вместе?

Решим задачу на совместную работу.

Пусть вся работа = 1.

1. Найдем производительность первой машины: $$1 : 20 = \frac{1}{20}$$
2. Найдем производительность второй машины: $$1 : 30 = \frac{1}{30}$$
3. Найдем общую производительность: $$\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$$
4. Найдем время, за которое они выполнят работу вместе: $$1 : \frac{1}{12} = 12$$

Ответ: 12 минут.