10. Площадь прямоугольного треугольника равна \(\frac{800\sqrt{3}}{3}\). Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Разбираемся:

В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 60°. Следовательно, другой острый угол равен 90° - 60° = 30°.

Пусть катет, лежащий напротив угла 60°, равен a, а катет, лежащий напротив угла 30°, равен b.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S = (a * b) / 2.

Известно, что площадь треугольника равна \(\frac{800\sqrt{3}}{3}\), то есть \(\frac{a \cdot b}{2} = \frac{800\sqrt{3}}{3}\).

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Также можно выразить катет b через катет a, используя тангенс угла 60°: tan(60°) = a / b, откуда b = a / tan(60°).

Так как tan(60°) = \(\sqrt{3}\), то b = \(\frac{a}{\sqrt{3}}\).

Подставляем выражение для b в формулу площади: \(\frac{a \cdot \frac{a}{\sqrt{3}}}{2} = \frac{800\sqrt{3}}{3}\).

Упрощаем уравнение: \(\frac{a^2}{2\sqrt{3}} = \frac{800\sqrt{3}}{3}\).

Умножаем обе части на 2\(\sqrt{3}\): \(a^2 = \frac{1600 \cdot 3}{3}\), a^2 = 1600.

Извлекаем квадратный корень: a = 40.

Таким образом, длина катета, лежащего напротив угла 60°, равна 40.

Ответ: 40

Проверка за 10 секунд: Длина катета равна 40.

Доп. профит: База: Знание тригонометрических функций углов 30°, 60° и 90° упрощает решение задач с прямоугольными треугольниками.