171. Площадь прямоугольного треугольника равна \(\frac{200\sqrt{3}}{3}\). Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Обозначим катет, лежащий напротив угла 60°, как b. Тогда другой катет (a) будет лежать напротив угла 30°. Известно, что \(a = \frac{b}{\sqrt{3}}\) или \(b = a\sqrt{3}\). Площадь прямоугольного треугольника: \(S = \frac{1}{2}ab\). Подставим: \(S = \frac{1}{2} * a * a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\). У нас (b=a \sqrt{3}\) , значит (a=b/\sqrt{3}\), и (S = \frac{b^2}{2 \sqrt{3}}). Дано: \(S = \frac{200\sqrt{3}}{3}\). Тогда, \(\frac{200\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{2} a b\) \(\frac{200\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{2} a (a \sqrt{3}) = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}\) \(a^2 = \frac{200\sqrt{3}}{3} * \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{400}{3}\) \(a = \sqrt{\frac{400}{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}\) Так как нужно найти катет b, лежащий напротив угла 60 градусов, то (b= a \sqrt{3}\): \(b= \frac{20 \sqrt{3}}{3} * \sqrt{3} = \frac{20 *3}{3} = 20\) Ответ: Длина катета, лежащего напротив угла 60 градусов, равна 20.