По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 85 км/ч и 40 км/ч. Длина товарного поезда равна 1200 метрам. Найдите длину пассажирского поезда в метрах, если время, за которое он прошёл мимо товарного поезда, равно 2 минутам.

Решение:

Это задача на относительное движение. Когда два объекта движутся в одном направлении, их относительная скорость равна разности их скоростей.

1. Переведём скорости в метры в секунду:
   Скорость пассажирского поезда \( v_p = 85 \text{ км/ч} = \frac{85 \cdot 1000}{3600} \text{ м/с} = \frac{850}{36} \text{ м/с} \).
   Скорость товарного поезда \( v_t = 40 \text{ км/ч} = \frac{40 \cdot 1000}{3600} \text{ м/с} = \frac{400}{36} \text{ м/с} \>.
2. Найдём относительную скорость:
   Когда пассажирский поезд обгоняет товарный, он движется относительно него со скоростью:
   \[ v_{отн} = v_p - v_t = \frac{850}{36} - \frac{400}{36} = \frac{450}{36} \text{ м/с} \].
3. Переведём время в секунды:
   \[ t = 2 \text{ минуты} = 2 \cdot 60 = 120 \text{ секунд} \].
4. Определим общее расстояние, которое проехал пассажирский поезд относительно товарного:
   За время обгона пассажирский поезд должен пройти расстояние, равное сумме длин обоих поездов. Мы знаем длину товарного поезда (1200 м). Обозначим длину пассажирского поезда как \( L_p \).
   \[ S = v_{отн} \cdot t = \frac{450}{36} \text{ м/с} \cdot 120 \text{ с} = \frac{450 \cdot 120}{36} \text{ м} \].
5. Вычислим расстояние:
   \[ S = \frac{450 \cdot 10}{3} \text{ м} = 150 \cdot 10 \text{ м} = 1500 \text{ м} \].
6. Найдем длину пассажирского поезда:
   Общее расстояние \( S \) равно сумме длин товарного и пассажирского поездов: \( S = L_t + L_p \).
   \( 1500 \text{ м} = 1200 \text{ м} + L_p \).
   \[ L_p = 1500 \text{ м} - 1200 \text{ м} = 300 \text{ м} \].

Ответ: 300 м.