23. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 31.

Привет, ученики! Давайте решим задачу по геометрии. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. BH - высота, опущенная на гипотенузу AC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Так как BH - диаметр окружности, то углы BPH и BKH - прямые (как вписанные углы, опирающиеся на диаметр). Значит, BP ⊥ AB и BK ⊥ CB. Отсюда следует, что BP ⊥ AB, но AB является гипотенузой, значит, P совпадает с вершиной A. Аналогично, BK ⊥ CB, но CB является гипотенузой, значит, K совпадает с вершиной C. Таким образом, окружность проходит через точки B, P и K, то есть через точки B, A и C. Так как P и K лежат на окружности с диаметром BH, то PK является хордой этой окружности. Рассмотрим четырехугольник BPKH. Углы BPH и BKH прямые (90 градусов). Сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. Значит, угол PНK = 180 - угол PBK = 180 - угол ABC. Но угол ABC = 90 градусов, поэтому угол PНK = 90 градусов. Значит, BPKH - прямоугольник. Теперь рассмотрим треугольник BPK. Он прямоугольный, так как угол PBK = 90 градусов. PK является гипотенузой этого треугольника. Но также BPKH - прямоугольник, следовательно, PK = BH. Так как BH = 31, то PK = 31. Ответ: PK = 31.