22. Постройте график функции $$y = \frac{(x^2 + 1)(x^2 – 7)}{x^2-7}$$ и определите, при каких значениях $$b$$ прямая $$y = bx$$ имеет с графиком одну общую точку.

Привет, друзья! Разберемся с этим заданием. Сначала упростим функцию: $$y = \frac{(x^2 + 1)(x^2 – 7)}{x^2-7}$$ При $$x^2
eq 7$$ можно сократить $$(x^2-7)$$: $$y = x^2 + 1$$, где $$x
eq \pm \sqrt{7}$$. Таким образом, графиком функции является парабола $$y = x^2 + 1$$ с выколотыми точками, соответствующими $$x = \sqrt{7}$$ и $$x = -\sqrt{7}$$. Найдем координаты этих выколотых точек: При $$x = \sqrt{7}$$, $$y = (\sqrt{7})^2 + 1 = 7 + 1 = 8$$. При $$x = -\sqrt{7}$$, $$y = (-\sqrt{7})^2 + 1 = 7 + 1 = 8$$. Итак, выколотые точки: $$(\sqrt{7}, 8)$$ и $$(-\sqrt{7}, 8)$$. Теперь рассмотрим прямую $$y = bx$$. Чтобы прямая имела с графиком одну общую точку, нужно чтобы уравнение $$x^2 + 1 = bx$$ имело один корень, либо чтобы прямая проходила через одну из выколотых точек. Рассмотрим уравнение $$x^2 - bx + 1 = 0$$. Дискриминант: $$D = b^2 - 4$$. Если $$D = 0$$, то уравнение имеет один корень: $$b^2 - 4 = 0 \Rightarrow b = \pm 2$$. Проверим, пересекает ли прямая $$y = bx$$ выколотые точки. Если прямая проходит через $$(\sqrt{7}, 8)$$, то $$8 = b \sqrt{7} \Rightarrow b = \frac{8}{\sqrt{7}} = \frac{8\sqrt{7}}{7}$$. Если прямая проходит через $$(-\sqrt{7}, 8)$$, то $$8 = -b \sqrt{7} \Rightarrow b = -\frac{8}{\sqrt{7}} = -\frac{8\sqrt{7}}{7}$$. Итого, значения $$b$$, при которых прямая $$y = bx$$ имеет с графиком одну общую точку: $$b = 2$$, $$b = -2$$, $$b = \frac{8\sqrt{7}}{7}$$, $$b = -\frac{8\sqrt{7}}{7}$$.