25. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 20, а площадь равна 50√3.

Привет, друзья! Решим эту задачу. Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $$a$$ и $$b$$, а гипотенузу как $$c$$. Дано, что $$c = 20$$, а площадь $$S = 50\sqrt{3}$$. Площадь прямоугольного треугольника: $$S = \frac{1}{2}ab$$. Тогда $$\frac{1}{2}ab = 50\sqrt{3}$$, значит, $$ab = 100\sqrt{3}$$. По теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2 = 20^2 = 400$$. Рассмотрим $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) + 2ab = 400 + 2(100\sqrt{3}) = 400 + 200\sqrt{3}$$. $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) - 2ab = 400 - 2(100\sqrt{3}) = 400 - 200\sqrt{3}$$. Тогда $$a+b = \sqrt{400 + 200\sqrt{3}} = 10\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$$ и $$a-b = \sqrt{400 - 200\sqrt{3}} = 10\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$$. Можно упростить выражения под корнем, заметив, что $$4 + 2\sqrt{3} = (1 + \sqrt{3})^2$$ и $$4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2$$. Тогда $$a+b = 10(1 + \sqrt{3})$$ и $$a-b = 10(\sqrt{3} - 1)$$. Сложим эти уравнения: $$2a = 10(1 + \sqrt{3}) + 10(\sqrt{3} - 1) = 10 + 10\sqrt{3} + 10\sqrt{3} - 10 = 20\sqrt{3}$$. Значит, $$a = 10\sqrt{3}$$. Вычтем эти уравнения: $$2b = 10(1 + \sqrt{3}) - 10(\sqrt{3} - 1) = 10 + 10\sqrt{3} - 10\sqrt{3} + 10 = 20$$. Значит, $$b = 10$$. Теперь найдем углы. Пусть угол α лежит напротив катета $$a$$. Тогда $$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{10\sqrt{3}}{20} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$. Значит, $$\alpha = 60^\circ$$. Тогда второй острый угол $$\beta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$. Ответ: Острые углы треугольника равны 30° и 60°.