Постройте график функции f(x) = cos3x, укажите её промежутки возрастания и убывания.

6. Построим график функции \( f(x) = \cos 3x \) и укажем её промежутки возрастания и убывания.

Функция \( f(x) = \cos 3x \) является сжатием функции \( \cos x \) в 3 раза вдоль оси x.

Область определения: \( x \in \mathbb{R} \).

Период: \( T = \frac{2\pi}{3} \).

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания, нужно найти производную функции и определить знаки производной:

$$f'(x) = -3 \sin 3x$$

Производная равна нулю, когда \( -3 \sin 3x = 0 \), то есть \( \sin 3x = 0 \). Это происходит при \( 3x = k\pi \), где \( k \in \mathbb{Z} \), следовательно, \( x = \frac{k\pi}{3} \).

Рассмотрим один период \( [0, \frac{2\pi}{3}] \). В этом периоде есть две точки: \( x = 0 \) и \( x = \frac{\pi}{3} \), где производная равна нулю.

• На интервале \( (0, \frac{\pi}{3}) \), \( 3x \in (0, \pi) \), поэтому \( \sin 3x > 0 \), и производная \( f'(x) = -3 \sin 3x < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}) \), \( 3x \in (\pi, 2\pi) \), поэтому \( \sin 3x < 0 \), и производная \( f'(x) = -3 \sin 3x > 0 \). Функция возрастает.

Ответ: Функция убывает на интервалах \( (\frac{2k\pi}{3}, \frac{(2k+1)\pi}{3}) \) и возрастает на интервалах \( (\frac{(2k+1)\pi}{3}, \frac{(2k+2)\pi}{3}) \), где \( k \in \mathbb{Z} \)