5. Сравните значения выражений: 1) sin 10π/9 и sin 12π/11; 2) ctg (-7π/18) и ctg (-3π/7).

5. Сравним значения выражений:

1) \( \sin \frac{10\pi}{9} \) и \( \sin \frac{12\pi}{11} \)

• \( \sin \frac{10\pi}{9} = \sin (\pi + \frac{\pi}{9}) = - \sin \frac{\pi}{9} \) (третья четверть).
• \( \sin \frac{12\pi}{11} = \sin (\pi + \frac{\pi}{11}) = - \sin \frac{\pi}{11} \) (третья четверть).

Так как \( \frac{\pi}{9} > \frac{\pi}{11} \), то \( \sin \frac{\pi}{9} > \sin \frac{\pi}{11} \). Следовательно, \( - \sin \frac{\pi}{9} < - \sin \frac{\pi}{11} \). Таким образом, \( \sin \frac{10\pi}{9} < \sin \frac{12\pi}{11} \).

2) \( \operatorname{ctg} \left(-\frac{7\pi}{18}\right) \) и \( \operatorname{ctg} \left(-\frac{3\pi}{7}\right) \)

Так как котангенс - нечётная функция, то

• \( \operatorname{ctg} \left(-\frac{7\pi}{18}\right) = - \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{18} \).
• \( \operatorname{ctg} \left(-\frac{3\pi}{7}\right) = - \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{7} \).

\( \frac{7\pi}{18} = \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{9} \). \( \frac{3\pi}{7} = \frac{\pi}{2} + \frac{-\pi}{14} \)

\( \operatorname{ctg} \left(-\frac{7\pi}{18}\right) < \operatorname{ctg} \left(-\frac{3\pi}{7}\right) \)

Ответ: 1) \( \sin \frac{10\pi}{9} < \sin \frac{12\pi}{11} \); 2) \( \operatorname{ctg} \left(-\frac{7\pi}{18}\right) < \operatorname{ctg} \left(-\frac{3\pi}{7}\right) \)