Постройте график функции $$y = |x^2 + 2x - 3|$$ и определите, при каких значениях параметра $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком данной функции ровно четыре общие точки.

Построим график функции $$y = |x^2 + 2x - 3|$$.

1. Сначала построим график функции $$y = x^2 + 2x - 3$$. Это парабола, ветви направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$$ $$y_v = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$$

Вершина параболы: (-1; -4).

Найдем точки пересечения с осью Ox:

$$x^2 + 2x - 3 = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = -2$$ $$x_1 \cdot x_2 = -3$$ $$x_1 = -3; x_2 = 1$$

Точки пересечения с осью Ox: (-3; 0) и (1; 0).

Точка пересечения с осью Oy: (0; -3).

2. Теперь построим график функции $$y = |x^2 + 2x - 3|$$. Для этого отразим часть параболы, находящуюся ниже оси Ox, симметрично относительно оси Ox.

Тогда вершина параболы станет точкой (-1; 4).

Прямая $$y = m$$ имеет с графиком функции ровно 4 общие точки, когда она проходит между осью Ox и вершиной отраженной параболы, т.е. $$0 < m < 4$$.

Ответ: $$0 < m < 4$$