В окружности с центром в точке О проведены две хорды АВ и CD. Прямые АB и CD перпендикулярны и пересекаются в точке Ѕ, лежащей вне окружности. Найдите OS, если длина хорды CD равна 2√46, а расстояния от точки S до точек А и В соответственно равны 18 и 3.

Пусть AB и CD – хорды окружности, пересекающиеся в точке S вне окружности, AB ⊥ CD, CD = 2√46, SA = 18, SB = 3.

Т.к. AB ⊥ CD, то произведение отрезков хорд равно: SA * SB = SC * SD.

Пусть SC = x, тогда SD = x + CD = x + 2√46.

Получаем: 18 * 3 = x * (x + 2√46).

$$x^2 + 2\sqrt{46}x - 54 = 0$$

Найдем дискриминант: D = (2√46)^2 - 4 * 1 * (-54) = 4 * 46 + 216 = 184 + 216 = 400.

$$x_1 = \frac{-2\sqrt{46} + \sqrt{400}}{2} = \frac{-2\sqrt{46} + 20}{2} = 10 - \sqrt{46}$$.

$$x_2 = \frac{-2\sqrt{46} - \sqrt{400}}{2} = \frac{-2\sqrt{46} - 20}{2} = -10 - \sqrt{46}$$.

Т.к. расстояние не может быть отрицательным, то $$SC = 10 - \sqrt{46}$$.

$$SD = 10 - \sqrt{46} + 2\sqrt{46} = 10 + \sqrt{46}$$.

Пусть M – середина CD. Тогда CM = MD = √46. ОМ ⊥ CD (радиус, проведенный к середине хорды).

$$SM = |SC - CM| = |10 - \sqrt{46} - \sqrt{46}| = |10 - 2\sqrt{46}| = 2\sqrt{46} - 10$$.

В прямоугольном треугольнике OMD: $$OD^2 = OM^2 + MD^2$$.

В прямоугольном треугольнике OSM: $$OS^2 = OM^2 + SM^2$$.

$$OS^2 = OD^2 - MD^2 + SM^2$$

$$OS^2 = OD^2 - (\sqrt{46})^2 + (2\sqrt{46} - 10)^2$$

$$OS^2 = OD^2 - 46 + 4*46 - 40\sqrt{46} + 100$$

$$OS^2 = OD^2 + 138 - 40\sqrt{46}$$

Т.к. радиус окружности неизвестен, то решение невозможно.

Ответ: недостаточно данных