В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА₁ и ВВ₁. Докажите, что углы ВВА₁ и ВАА₁ равны.

Рассмотрим остроугольный треугольник ABC, в котором проведены высоты AA₁ и BB₁.

Требуется доказать, что углы BBA₁ и BAA₁ равны.

Рассмотрим четырехугольник A₁B₁AB. Т.к. AA₁ и BB₁ - высоты, то углы AA₁B и BB₁A равны 90°.

Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Значит, $$∠A₁AB + ∠AB₁B = 360° - 90° - 90° = 180°$$.

Т.к. сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около четырехугольника A₁B₁AB можно описать окружность.

Тогда углы BBA₁ и BAA₁ опираются на одну и ту же дугу BA₁. Значит, они равны.

Ответ: доказано