22 Постройте график функции y = -|x|x+|x|+5х Определите, при каких значениях с прямая у = с имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Рассмотрим функцию $$y = -|x|x + |x| + 5x$$.

Если $$x \geq 0$$, то $$|x| = x$$, и тогда $$y = -x^2 + x + 5x = -x^2 + 6x$$.

Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$, и тогда $$y = x^2 - x + 5x = x^2 + 4x$$.

Таким образом, функция имеет вид:

$$y = \begin{cases} -x^2 + 6x, & x \geq 0 \\ x^2 + 4x, & x < 0 \end{cases}$$

Графиком функции при $$x \geq 0$$ является парабола с вершиной в точке $$x_v = \frac{-6}{2(-1)} = 3$$, и значением $$y_v = -3^2 + 6 \cdot 3 = -9 + 18 = 9$$. Координаты вершины параболы $$(3, 9)$$.

Графиком функции при $$x < 0$$ является парабола с вершиной в точке $$x_v = \frac{-4}{2(1)} = -2$$, и значением $$y_v = (-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4$$. Координаты вершины параболы $$(-2, -4)$$.

Построим график функции.

Прямая $$y = c$$ имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку при $$c = 9$$ и при $$c < -4$$.

Ответ: c = 9, c < -4