22. При каком натуральном значении t: а) значение дроби \(\frac{t+14}{t+5}\) есть натуральное число; б) значение дроби \(\frac{t+21}{t+5}\) есть натуральное число?

а) \(\frac{t+14}{t+5} = \frac{t+5+9}{t+5} = 1 + \frac{9}{t+5}\). Для того, чтобы значение дроби было натуральным числом, необходимо, чтобы \(\frac{9}{t+5}\) было натуральным числом. Это возможно, если \(t+5\) является делителем числа 9. Делители числа 9: 1, 3, 9. Рассмотрим варианты: \(t+5 = 1 \Rightarrow t = -4\) (не подходит, так как t должно быть натуральным). \(t+5 = 3 \Rightarrow t = -2\) (не подходит, так как t должно быть натуральным). \(t+5 = 9 \Rightarrow t = 4\). Итак, \(t=4\).

б) \(\frac{t+21}{t+5} = \frac{t+5+16}{t+5} = 1 + \frac{16}{t+5}\). Для того, чтобы значение дроби было натуральным числом, необходимо, чтобы \(\frac{16}{t+5}\) было натуральным числом. Это возможно, если \(t+5\) является делителем числа 16. Делители числа 16: 1, 2, 4, 8, 16. Рассмотрим варианты: \(t+5 = 1 \Rightarrow t = -4\) (не подходит). \(t+5 = 2 \Rightarrow t = -3\) (не подходит). \(t+5 = 4 \Rightarrow t = -1\) (не подходит). \(t+5 = 8 \Rightarrow t = 3\). \(t+5 = 16 \Rightarrow t = 11\). Итак, \(t=3\) или \(t=11\).

Ответ: а) 4; б) 3, 11