8. При взрыве камень разрывается на три части. Два осколка летят под прямым углом друг к другу: массой т₁ = 1 кг со скоростью 12 м/с и массой т₂ = 2 кг со скоростью 8 м/с. Третий кусок отлетает со скоростью 40 м/с. Какова масса третьего осколка и в каком направлении он летит?

Дано:

$$m_1 = 1 \text{ кг}$$ $$v_1 = 12 \frac{\text{м}}{\text{с}}$$ $$m_2 = 2 \text{ кг}$$ $$v_2 = 8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$$ $$v_3 = 40 \frac{\text{м}}{\text{с}}$$ $$m_3 - ? \alpha - ?$$

Решение:

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:

$$0 = m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} + m_3\vec{v_3}$$.

В проекциях на оси OX и OY:

$$OX: 0 = m_1v_1 - m_3v_{3x}$$ $$OY: 0 = m_2v_2 - m_3v_{3y}$$.

Отсюда

$$m_3v_{3x} = m_1v_1 = 1 \text{ кг} \cdot 12 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 12 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$$ $$m_3v_{3y} = m_2v_2 = 2 \text{ кг} \cdot 8 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 16 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$$.

Тогда

$$v_{3x} = \frac{12}{m_3}$$ $$v_{3y} = \frac{16}{m_3}$$.

Используем теорему Пифагора

$$v_3^2 = v_{3x}^2 + v_{3y}^2 = (\frac{12}{m_3})^2 + (\frac{16}{m_3})^2 \implies v_3^2 = \frac{144 + 256}{m_3^2} = \frac{400}{m_3^2}$$.

Отсюда

$$m_3 = \sqrt{\frac{400}{v_3^2}} = \sqrt{\frac{400}{40^2}} = \sqrt{\frac{400}{1600}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0,5 \text{ кг}$$.

Тангенс угла $$\alpha$$ между вектором скорости третьего осколка и осью OX равен

$$tg \alpha = \frac{v_{3y}}{v_{3x}} = \frac{16/m_3}{12/m_3} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \approx 1,33$$.

Тогда

$$\alpha = arctg(1,33) \approx 53,13^\circ$$.

Ответ: 0,5 кг; угол 53,13°