Проверь себя! 1. Вычислить: 1) \(\log_5 125\); 2) \(\lg 0.01\); 3) \(2^{\log_2 3}\); 4) \(3^{2\log_3 7}\); 5) \(\log_2 68-\log_2 17\). 2. Построить схематически графики функций: 1) \(y=\log_{0.2}x\); 2) \(y=\log_2x\). 3. Сравнить числа: 1) \(\log_{0.2}3\) и \(\log_{0.2}2.5\); 2) \(\log_2 0.7\) и \(\log_2 1.2\). 4. Решить уравнение: 1) \(\log_5(3x+1)=2\); 2) \(\log_3(x+2)+\log_3x=1\); 3) \(\ln(x^2-6x+9)=\ln3+\ln(x+3)\). 5. Решить систему уравнений: \(\ln x-\ln y=\ln3\), \(x-2y=5\). 6. Решить неравенство: 1) \(\log_3(x-1)\le2\); 2) \(\log_{1/5}(2-x)>-1\).

1. Вычисления

1. \(125=5^3\), поэтому \(\log_5 125=3\).
2. \(0.01=10^{-2}\), поэтому \(\lg0.01=-2\).
3. \(2^{\log_2 3}=3\).
4. \(3^{2\log_3 7}=(3^{\log_3 7})^2=7^2=49\).
5. \(\log_2 68-\log_2 17=\log_2(68/17)=\log_2 4=2\).

2. Графики

Обе функции имеют область определения \(x>0\), проходят через \((1;0)\) и имеют вертикальную асимптоту \(x=0\). При основании \(0.2<1\) график убывает; при основании 2 график возрастает.

3. Сравнение

1. Основание 0.2 меньше 1, поэтому логарифм убывает: \(3>2.5\) влечёт \(\log_{0.2}3<\log_{0.2}2.5\).
2. Основание 2 больше 1, поэтому логарифм возрастает: \(0.7<1.2\) влечёт \(\log_2 0.7<\log_2 1.2\).

4. Уравнения

1. \(3x+1=25\), поэтому \(x=8\).
2. Область определения: \(x>0\). Объединяем логарифмы: \(x(x+2)=3\), откуда \((x-1)(x+3)=0\). Допустим только \(x=1\).
3. Область определения: \(x>-3\), \(x\ne3\). Получаем \((x-3)^2=3(x+3)\), то есть \(x^2-9x=0\). Корни 0 и 9 удовлетворяют области определения.

5. Система

Из первого уравнения \(\ln(x/y)=\ln3\), значит, \(x=3y\), причём \(x,y>0\). Подставляем во второе: \(3y-2y=5\), откуда \(y=5\), \(x=15\). Ответ: \((x;y)=(15;5)\).

6. Неравенства

1. Область определения \(x>1\). Получаем \(x-1\le9\), поэтому \(x\in(1;10]\).
2. Область определения \(x<2\). Основание \(1/5<1\), поэтому знак меняется: \(2-x<5\), или \(x>-3\). Ответ: \(x\in(-3;2)\).