пр..рогатива

Применим протокол А (орфография).
Орфограмма: правописание безударной гласной в приставках ПРЕ-, ПРИ-.
Слово с пропуском: пр..рогатива.

Вывод: в слове "прерогатива" пишется буква Е, так как словарное слово, необходимо запомнить.

Ответ: прерогатива