Прямая, пересекающая диагональ BD параллелограмма ABCD в точке E, пересекает его стороны AB и CD в точках M и K соответственно, причём ME = KE. Докажите, что четырёхугольник BKDM — параллелограмм.

Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть прямая, проходящая через точку E на диагонали BD, пересекает стороны AB и CD в точках M и K соответственно, причем ME = KE.

Так как ABCD - параллелограмм, то AB || CD, значит, углы ∠MBE и ∠KDE равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD. Также, углы ∠BME и ∠DKE равны как вертикальные углы. Следовательно, треугольники MBE и KDE равны по стороне (ME = KE) и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что MB = KD и BE = DE. Так как BE = DE, то E - середина диагонали BD. Рассмотрим четырехугольник BKDM. Его диагонали BD и MK точкой E пересечения делятся пополам. Следовательно, BKDM - параллелограмм (по признаку параллелограмма).