7) Прямая проходит через точки А (1; -1) и В (-3;2). Найдите площадь треугольника, ограниченного этой прямой и осями координат.

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(1; -1) и B(-3; 2):

$$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$

$$\frac{y - (-1)}{2 - (-1)} = \frac{x - 1}{-3 - 1}$$

$$\frac{y + 1}{3} = \frac{x - 1}{-4}$$

$$-4(y + 1) = 3(x - 1)$$

$$-4y - 4 = 3x - 3$$

$$3x + 4y + 1 = 0$$

Найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью Ox (y = 0):

  $$3x + 4 \cdot 0 + 1 = 0$$

  $$3x = -1$$

  $$x = -\frac{1}{3}$$

  Точка пересечения с осью Ox: $$\left(-\frac{1}{3}; 0\right)$$

• С осью Oy (x = 0):

  $$3 \cdot 0 + 4y + 1 = 0$$

  $$4y = -1$$

  $$y = -\frac{1}{4}$$

  Точка пересечения с осью Oy: $$\left(0; -\frac{1}{4}\right)$$

Площадь треугольника, образованного прямой и осями координат, равна:

$$S = \frac{1}{2} |x| |y| = \frac{1}{2} \cdot \left|-\frac{1}{3}\right| \cdot \left|-\frac{1}{4}\right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{24}$$

Ответ: $$\frac{1}{24}$$