7. Прямоугольные треугольники АВС и ABD имеют общую гипотенузу АВ. Известно, что АС || BD. Докажите, что AD = ВС.

Дано: прямоугольные треугольники ABC и ABD с общей гипотенузой AB. AC || BD.

Доказать: AD = BC.

Доказательство:

1. Так как AC || BD и AB является секущей, то углы CAB и DBA являются внутренними накрест лежащими углами и, следовательно, равны: ∠CAB = ∠DBA.

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и ABD.

- ∠ACB = ∠ADB = 90° (по условию).

- AB - общая гипотенуза.

- ∠CAB = ∠DBA (доказано выше).

3. Следовательно, треугольники ABC и ABD равны по гипотенузе и острому углу (признак равенства прямоугольных треугольников).

4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AD = BC.

Ответ: Доказано