Прямые, параллельные стороне АВ треугольника АВС, делят площадь треугольника в отношении 9: A9 55: 161 (считая от вершины С). Найдите, в каком отношении делятся стороны АС и ВС треугольника. 1) 9:55:161; 2) 3:5:11; 3) 3:5:7; 4) 1:2:3; 5) 9:12:17.

Пошаговое решение:

• Пусть площади треугольников, начиная от вершины C, относятся как 9x, 55x и 161x.
• Общая площадь треугольника ABC: \( 9x + 55x + 161x = 225x \).
• Пусть стороны AC и BC делятся в отношении y:z.
• Так как прямые параллельны стороне AB, то треугольники, образованные ими, подобны треугольнику ABC.
• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их сторон.
• Площадь первого треугольника: 9x. Площадь второго треугольника: \( 9x + 55x = 64x \).
• Пусть \( k_1 \) и \( k_2 \) - коэффициенты подобия.
• \( k_1^2 = \frac{9x}{225x} = \frac{9}{225} = \frac{1}{25} \) => \( k_1 = \frac{1}{5} \).
• \( k_2^2 = \frac{64x}{225x} = \frac{64}{225} \) => \( k_2 = \frac{8}{15} \).
• Тогда стороны делятся в отношении: \( \frac{1}{5} : (\frac{8}{15} - \frac{1}{5}) : (1 - \frac{8}{15}) \).
• \( \frac{1}{5} : \frac{5}{15} : \frac{7}{15} \).
• Умножим на 15: \( 3 : 5 : 7 \).

Ответ: 3) 3:5:7