В треугольнике АВС известно, что АВ 13, ВС 21, AC 20. B3 Найдите площадь треугольника АМН, где АН и АМ соответственно высота и медиана треугольника АВС, проведенные из вершины А.

Пошаговое решение:

• Полупериметр треугольника ABC: \( p = \frac{13 + 21 + 20}{2} = 27 \).
• Площадь треугольника ABC по формуле Герона: \( S_{ABC} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{27(27 - 13)(27 - 21)(27 - 20)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 7} = \sqrt{3 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7} = 3 \cdot 2 \cdot 7 \sqrt{9} = 42 \cdot 3 = 126 \).
• Площадь треугольника ABC можно выразить через высоту AH: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \) => \( AH = \frac{2S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 126}{21} = \frac{252}{21} = 12 \).
• Медиана AM делит сторону BC пополам: \( BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \).
• Для нахождения площади треугольника AMH воспользуемся формулой: \( S_{AMH} = \frac{1}{2} \cdot MH \cdot AH \).
• Найдем MH. Треугольник AHC - прямоугольный. MC = 10.5, AC = 20, AH = 12.
• По теореме Пифагора: \( HC = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \).
• MH = |MC - HC| = |10.5 - 16| = |-5.5| = 5.5.
• Площадь треугольника AMH: \( S_{AMH} = \frac{1}{2} \cdot 5.5 \cdot 12 = 5.5 \cdot 6 = 33 \).

Ответ: 33