В прямоугольном треугольнике отношение высоты к медиане, которые проведены из вершины прямого угла, равно 4:5. Найдите отношение, в котором основание высоты делит гипотенузу.

Пошаговое решение:

• Пусть h - высота, m - медиана, c - гипотенуза.
• \( \frac{h}{m} = \frac{4}{5} \).
• Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: \( m = \frac{c}{2} \).
• \( h = \frac{4}{5}m = \frac{4}{5} \cdot \frac{c}{2} = \frac{2}{5}c \).
• Пусть x и y - отрезки, на которые высота делит гипотенузу.
• Высота делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника.
• \( \frac{x}{h} = \frac{h}{y} \).
• \( h^2 = xy \).
• Также известно, что \( x + y = c \).
• \( h = \frac{2}{5}c \) => \( h^2 = \frac{4}{25}c^2 \).
• \( xy = \frac{4}{25}c^2 \).
• Выразим x через y: \( x = c - y \).
• \( (c - y)y = \frac{4}{25}c^2 \).
• \( cy - y^2 = \frac{4}{25}c^2 \).
• \( y^2 - cy + \frac{4}{25}c^2 = 0 \).
• Решим квадратное уравнение относительно y: \( D = c^2 - \frac{16}{25}c^2 = \frac{9}{25}c^2 \).
• \( y_{1,2} = \frac{c \pm \frac{3}{5}c}{2} \).
• \( y_1 = \frac{c + \frac{3}{5}c}{2} = \frac{\frac{8}{5}c}{2} = \frac{4}{5}c \).
• \( y_2 = \frac{c - \frac{3}{5}c}{2} = \frac{\frac{2}{5}c}{2} = \frac{1}{5}c \).
• Тогда \( x_1 = c - \frac{4}{5}c = \frac{1}{5}c \), \( x_2 = c - \frac{1}{5}c = \frac{4}{5}c \).
• Отношение, в котором основание высоты делит гипотенузу: \( \frac{x}{y} = \frac{\frac{1}{5}c}{\frac{4}{5}c} = \frac{1}{4} \) или \( \frac{4}{1} \).

Ответ: 2) 1:4