В окружность, радиус которой равен 8, вписан A6 равнобедренный треугольник. Угол при основании треугольника равен 75°. Найдите площадь тре угольника 1) 16(2+2): 2) 32; 3) 64: 4) 16(2+3), 5) 32(2+3).

Пошаговое решение:

• Угол при основании равен 75°, следовательно, второй угол при основании также равен 75°.
• Угол при вершине: \( 180° - 75° - 75° = 30° \).
• Стороны треугольника: a, a, b.
• Площадь треугольника: \( S = \frac{abc}{4R} \), где R - радиус описанной окружности. Так как треугольник равнобедренный, \( S = \frac{a^2b}{4R} \).
• По теореме синусов: \( \frac{a}{sin(75°)} = \frac{b}{sin(30°)} = 2R \).
• \( a = 2R \cdot sin(75°) = 16 \cdot sin(75°) \).
• \( b = 2R \cdot sin(30°) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \).
• \( sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \).
• \( a = 16 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 4(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \).
• Площадь: \( S = \frac{[4(\sqrt{6} + \sqrt{2})]^2 \cdot 8}{4 \cdot 8} = \frac{16(6 + 2 + 2\sqrt{12}) \cdot 8}{32} = 4(8 + 4\sqrt{3}) = 32 + 16\sqrt{3} = 16(2 + \sqrt{3}) \).

Ответ: 4) 16(2 + √3)