Пункт 18 7. Точка А находится на расстоянии а от вершин равносто-роннего треугольника со стороной а. Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника.

Пусть ABC – равносторонний треугольник со стороной a, A' – точка, находящаяся на расстоянии a от каждой вершины треугольника. Требуется найти расстояние от точки A' до плоскости треугольника ABC.

1. Опустим перпендикуляр A'O на плоскость ABC. Тогда OA' – искомое расстояние.

2. Так как A'A = A'B = A'C = a, то проекции этих отрезков на плоскость ABC также равны: OA = OB = OC. Это означает, что точка O – центр описанной окружности треугольника ABC.

3. В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Радиус описанной окружности равен $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник A'AO. По теореме Пифагора: $$A'A^2 = A'O^2 + AO^2$$.

5. Отсюда: $$A'O = \sqrt{A'A^2 - AO^2} = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$$.

Ответ: расстояние от точки А до плоскости треугольника равно $$\frac{a\sqrt{6}}{3}$$.