10. Радиус окружности описанной около треугольника АВС равен 13. Найдите ВС, если косинус внешнего угла при вершине А равен 5/13.

Косинус внешнего угла при вершине A равен минус косинусу внутреннего угла при вершине A.

$$\cos A_{внеш} = -\cos A$$

$$\cos A = -\frac{5}{13}$$

Зная косинус, найдем синус угла А:

$$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$

$$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{-5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$$

$$\sin A = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$$

Радиус описанной окружности можно найти по формуле:

$$R = \frac{a}{2 \sin A}$$

В данном случае R = 13.

Выразим сторону a (BC):

$$BC = a = 2 \cdot R \cdot \sin A = 2 \cdot 13 \cdot \frac{12}{13} = 2 \cdot 12 = 24$$

Ответ: 24