6. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен $2\sqrt{3}$ см. Найдите сторону треугольника и его площадь.

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности связан со стороной треугольника следующим образом: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, где a - сторона треугольника. Нам известно, что $r = 2\sqrt{3}$ см. Подставим это значение в формулу и найдем сторону треугольника: $2\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ $a = \frac{2\sqrt{3} \cdot 6}{\sqrt{3}} = 12$ Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ $S = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ Ответ: Сторона треугольника равна 12 см, площадь равна $36\sqrt{3}$ кв. см.