Решение систем нелинейных уравнений 2 x² + y² = 20 xy = 8

Решим систему нелинейных уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 20 \\ xy = 8 \end{cases}$$

Выразим y через x из второго уравнения: $$y = \frac{8}{x}$$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$$x^2 + \left(\frac{8}{x}\right)^2 = 20$$ $$x^2 + \frac{64}{x^2} = 20$$

Умножим обе части уравнения на $$x^2$$:

$$x^4 + 64 = 20x^2$$ $$x^4 - 20x^2 + 64 = 0$$

Пусть $$z = x^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$z^2 - 20z + 64 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно z:

$$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144$$ $$z_1 = \frac{20 + \sqrt{144}}{2} = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$$ $$z_2 = \frac{20 - \sqrt{144}}{2} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Найдем x:

$$x^2 = 16 \Rightarrow x_1 = 4, x_2 = -4$$ $$x^2 = 4 \Rightarrow x_3 = 2, x_4 = -2$$

Найдем y для каждого значения x:

Если $$x_1 = 4$$, то $$y_1 = \frac{8}{4} = 2$$

Если $$x_2 = -4$$, то $$y_2 = \frac{8}{-4} = -2$$

Если $$x_3 = 2$$, то $$y_3 = \frac{8}{2} = 4$$

Если $$x_4 = -2$$, то $$y_4 = \frac{8}{-2} = -4$$

Ответ: (4, 2), (-4, -2), (2, 4), (-2, -4)