3. Решить дробно-рациональное уравнение: a) x²+5x+6 x+2 = 0; б) 5x x+2 - 20 x²+2x = 4 x

3. Решить дробно-рациональное уравнение:

a) $$\frac{x^2+5x+6}{x+2} = 0$$

Находим корни квадратного трехчлена в числителе:

$$x^2+5x+6 = 0$$

$$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

$$x_1 = -2$$ не является решением, так как обращает знаменатель в нуль.

Ответ: $$x = -3$$

б) $$\frac{5x}{x+2} - \frac{20}{x^2+2x} = \frac{4}{x}$$

ОДЗ: $$x
eq 0$$, $$x
eq -2$$

$$\frac{5x}{x+2} - \frac{20}{x(x+2)} = \frac{4}{x}$$

Приводим к общему знаменателю $$x(x+2)$$:

$$\frac{5x^2}{x(x+2)} - \frac{20}{x(x+2)} = \frac{4(x+2)}{x(x+2)}$$

$$5x^2 - 20 = 4(x+2)$$. Домножать на знаменатель нельзя, так как неизвестно, не равен ли он нулю.

$$5x^2 - 20 = 4x + 8$$

$$5x^2 - 4x - 28 = 0$$

$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-28) = 16 + 560 = 576$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{576}}{2 \cdot 5} = \frac{4 + 24}{10} = \frac{28}{10} = 2.8$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{576}}{2 \cdot 5} = \frac{4 - 24}{10} = \frac{-20}{10} = -2$$

По ОДЗ $$x
eq -2$$, поэтому корнем является только $$x_1 = 2.8$$

Ответ: $$x = 2.8$$