3. Решить дробно-рациональное уравнение: a) x²+3x-4 x+4 = 0; 3x x-1 - 4 x = 3 x2-x

3. Решить дробно-рациональное уравнение:

a) $$\frac{x^2+3x-4}{x+4} = 0$$

Находим корни квадратного трехчлена в числителе:

$$x^2+3x-4 = 0$$

$$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

$$x_2 = -4$$ не является решением, так как обращает знаменатель в нуль.

Ответ: $$x = 1$$

б) $$\frac{3x}{x-1} - \frac{4}{x} = \frac{3}{x^2-x}$$

ОДЗ: $$x
eq 0$$, $$x
eq 1$$

$$\frac{3x}{x-1} - \frac{4}{x} = \frac{3}{x(x-1)}$$

Приводим к общему знаменателю $$x(x-1)$$:

$$\frac{3x^2}{x(x-1)} - \frac{4(x-1)}{x(x-1)} = \frac{3}{x(x-1)}$$

$$3x^2 - 4(x-1) = 3$$

$$3x^2 - 4x + 4 = 3$$

$$3x^2 - 4x + 1 = 0$$

$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

По ОДЗ $$x
eq 1$$, поэтому корнем является только $$x_2 = \frac{1}{3}$$

Ответ: $$x = \frac{1}{3}$$