4. Решить неравенство 2log2(2x+7)≥5+log2(x+2) [2log2(x+5)<3+log2(11+x)].

Первый случай: 2log2(2x+7)≥5+log2(x+2) log_2(2x+7)^2 >= log_2 2^5 + log_2(x+2) log_2(2x+7)^2 >= log_2 (32(x+2)) (2x+7)^2 >= 32(x+2) 4x^2 + 28x + 49 >= 32x + 64 4x^2 - 4x - 15 >= 0 D = (-4)^2 - 4 * 4 * (-15) = 16 + 240 = 256 x1 = (4 + \sqrt{256}) / (2 * 4) = (4 + 16) / 8 = 20 / 8 = 5/2 = 2.5 x2 = (4 - \sqrt{256}) / (2 * 4) = (4 - 16) / 8 = -12 / 8 = -3/2 = -1.5 x <= -1.5 или x >= 2.5 Ограничения: 2x + 7 > 0 -> 2x > -7 -> x > -3.5 x + 2 > 0 -> x > -2 С учетом ограничений: -2 < x <= -1.5 или x >= 2.5 Второй случай: [2log2(x+5)<3+log2(11+x)]. log_2(x+5)^2 < log_2 2^3 + log_2(11+x) log_2(x+5)^2 < log_2(8(11+x)) (x+5)^2 < 8(11+x) x^2 + 10x + 25 < 88 + 8x x^2 + 2x - 63 < 0 D = 2^2 - 4 * 1 * (-63) = 4 + 252 = 256 x1 = (-2 + \sqrt{256}) / (2 * 1) = (-2 + 16) / 2 = 14 / 2 = 7 x2 = (-2 - \sqrt{256}) / (2 * 1) = (-2 - 16) / 2 = -18 / 2 = -9 -9 < x < 7 Ограничения: x + 5 > 0 -> x > -5 11 + x > 0 -> x > -11 С учетом ограничений: -5 < x < 7