27. Решить неравенство f'(x) > 0 для функции f(x) = e^x * x^{-2}.

Для начала найдем производную функции f(x) = e^x * x^{-2}, используя правило произведения: f'(x) = (e^x)' * x^{-2} + e^x * (x^{-2})'.

(e^x)' = e^x
(x^{-2})' = -2x^{-3}

Таким образом, f'(x) = e^x * x^{-2} - 2e^x * x^{-3} = e^x * (x^{-2} - 2x^{-3}) = e^x * (1/x^2 - 2/x^3) = e^x * (x - 2) / x^3.

Теперь решим неравенство f'(x) > 0, то есть e^x * (x - 2) / x^3 > 0.
Так как e^x всегда положительно, неравенство сводится к (x - 2) / x^3 > 0.

Находим нули числителя и знаменателя: x = 2 и x = 0.

Рассмотрим знаки на интервалах:
- x < 0: (x - 2) < 0, x^3 < 0, значит (x - 2) / x^3 > 0
- 0 < x < 2: (x - 2) < 0, x^3 > 0, значит (x - 2) / x^3 < 0
- x > 2: (x - 2) > 0, x^3 > 0, значит (x - 2) / x^3 > 0

Таким образом, f'(x) > 0 при x < 0 и x > 2.
Ответ: x принадлежит (-∞, 0) U (2, +∞).