6. Решить неравенство log (x-3)+log (9-x) - 3. 2 2

Решим неравенство: $$log_2(x-3) + log_2(9-x) \geq -3$$.

Область определения: $$x-3 > 0$$ и $$9-x > 0$$, то есть $$x > 3$$ и $$x < 9$$, значит $$3 < x < 9$$.

Используем свойство логарифмов: $$log_ab + log_ac = log_a(b \cdot c)$$.

$$log_2((x-3)(9-x)) \geq -3$$.

$$(x-3)(9-x) \geq 2^{-3}$$.

$$(x-3)(9-x) \geq \frac{1}{8}$$.

$$9x - x^2 - 27 + 3x \geq \frac{1}{8}$$.

$$-x^2 + 12x - 27 \geq \frac{1}{8}$$.

$$x^2 - 12x + 27 \leq -\frac{1}{8}$$.

$$x^2 - 12x + 27\frac{1}{8} \leq 0$$.

$$x^2 - 12x + \frac{217}{8} \leq 0$$.

Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - 12x + \frac{217}{8} = 0$$.

$$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{217}{8} = 144 - \frac{217}{2} = \frac{288 - 217}{2} = \frac{71}{2} = 35.5$$.

$$x_1 = \frac{12 + \sqrt{35.5}}{2}$$, $$x_2 = \frac{12 - \sqrt{35.5}}{2}$$.

$$x_1 \approx \frac{12 + 5.96}{2} \approx 8.98$$.

$$x_2 \approx \frac{12 - 5.96}{2} \approx 3.02$$.

Таким образом, решение неравенства: $$\frac{12 - \sqrt{35.5}}{2} \leq x \leq \frac{12 + \sqrt{35.5}}{2}$$, то есть $$3.02 \leq x \leq 8.98$$.

С учетом области определения: $$3 < x < 9$$, получаем $$3 < x \leq \frac{12 + \sqrt{35.5}}{2}$$ и $$\frac{12 - \sqrt{35.5}}{2} \leq x < 9$$.

Ответ: $$(\frac{12 - \sqrt{35.5}}{2}; \frac{12 + \sqrt{35.5}}{2}]$$