Решить систему уравнений: (2x + 3|y| = 5; 3|x| - 2y = 1)

Решение системы уравнений:

Данная система содержит модули, поэтому будем рассматривать случаи:

1. Случай 1: x ≥ 0 и y ≥ 0




• Система принимает вид:


• \[ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 3x - 2y = 1 \end{cases} \]
  


• Умножим первое уравнение на 2, второе на 3:


• \[ \begin{cases} 4x + 6y = 10 \\ 9x - 6y = 3 \end{cases} \]
  


• Сложим уравнения:


• \[ 13x = 13 \implies x = 1 \]
  


• Подставим x = 1 в первое уравнение:


• \[ 2(1) + 3y = 5 \implies 3y = 3 \implies y = 1 \]
  


• Проверка условий: x = 1 ≥ 0 и y = 1 ≥ 0. Решение (1; 1) подходит.




2. Случай 2: x < 0 и y ≥ 0




• Система принимает вид:


• \[ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 3(-x) - 2y = 1 \implies -3x - 2y = 1 \end{cases} \]
  


• Умножим первое уравнение на 2, второе на 3:


• \[ \begin{cases} 4x + 6y = 10 \\ -9x - 6y = 3 \end{cases} \]
  


• Сложим уравнения:


• \[ -5x = 13 \implies x = -13/5 \]
  


• Подставим x = -13/5 в первое уравнение:


• \[ 2(-13/5) + 3y = 5 \implies -26/5 + 3y = 5 \implies 3y = 5 + 26/5 = (25+26)/5 = 51/5 \implies y = 17/5 \]
  


• Проверка условий: x = -13/5 < 0 и y = 17/5 ≥ 0. Решение (-13/5; 17/5) подходит.




3. Случай 3: x ≥ 0 и y < 0




• Система принимает вид:


• \[ \begin{cases} 2x + 3(-y) = 5 \implies 2x - 3y = 5 \\ 3x - 2y = 1 \end{cases} \]
  


• Умножим первое уравнение на 2, второе на 3:


• \[ \begin{cases} 4x - 6y = 10 \\ 9x - 6y = 3 \end{cases} \]
  


• Вычтем первое уравнение из второго:


• \[ (9x - 6y) - (4x - 6y) = 3 - 10 \implies 5x = -7 \implies x = -7/5 \]
  


• Проверка условия: x = -7/5 < 0. Это противоречит условию x ≥ 0. Решений в этом случае нет.




4. Случай 4: x < 0 и y < 0




• Система принимает вид:


• \[ \begin{cases} 2x + 3(-y) = 5 \implies 2x - 3y = 5 \\ 3(-x) - 2y = 1 \implies -3x - 2y = 1 \end{cases} \]
  


• Умножим первое уравнение на 2, второе на 3:


• \[ \begin{cases} 4x - 6y = 10 \\ -9x - 6y = 3 \end{cases} \]
  


• Вычтем второе уравнение из первого:


• \[ (4x - 6y) - (-9x - 6y) = 10 - 3 \implies 13x = 7 \implies x = 7/13 \]
  


• Проверка условия: x = 7/13 > 0. Это противоречит условию x < 0. Решений в этом случае нет.

Ответ: (1; 1) и (-13/5; 17/5).