Решить систему уравнений: |x|+y=3; x+2|y|=4.

Решение:

Данная система содержит модули, поэтому будем рассматривать различные случаи в зависимости от знаков x и y.

1. Первое уравнение: |x| + y = 3
2. Второе уравнение: x + 2|y| = 4
3. Возможные случаи:
   • Случай 1: x >= 0 и y >= 0. Система:
     • x + y = 3
     • x + 2y = 4
     Вычитаем первое уравнение из второго: (x + 2y) - (x + y) = 4 - 3, y = 1. Подставляем y = 1 в первое уравнение: x + 1 = 3, x = 2. Проверяем: x=2 >= 0, y=1 >= 0. Решение подходит.
   • Случай 2: x < 0 и y >= 0. Система:
     • -x + y = 3
     • x + 2y = 4
     Складываем уравнения: (-x + y) + (x + 2y) = 3 + 4, 3y = 7, y = 7/3. Подставляем y = 7/3 во второе уравнение: x + 2(7/3) = 4, x + 14/3 = 12/3, x = -2/3. Проверяем: x=-2/3 < 0, y=7/3 >= 0. Решение подходит.
   • Случай 3: x >= 0 и y < 0. Система:
     • x - y = 3
     • x - 2y = 4
     Вычитаем второе уравнение из первого: (x - y) - (x - 2y) = 3 - 4, y = -1. Подставляем y = -1 в первое уравнение: x - (-1) = 3, x + 1 = 3, x = 2. Проверяем: x=2 >= 0, y=-1 < 0. Решение подходит.
   • Случай 4: x < 0 и y < 0. Система:
     • -x - y = 3
     • x - 2y = 4
     Складываем уравнения: (-x - y) + (x - 2y) = 3 + 4, -3y = 7, y = -7/3. Подставляем y = -7/3 во второе уравнение: x - 2(-7/3) = 4, x + 14/3 = 12/3, x = -2/3. Проверяем: x=-2/3 < 0, y=-7/3 < 0. Решение подходит.

Ответ: (2; 1), (-2/3; 7/3), (2; -1), (-2/3; -7/3)