7. Решить уравнение log 8x + log √₂ x = 14.

Решить уравнение $$log_8 x + log_{\sqrt{2}} x = 14$$.

ОДЗ: $$x > 0$$.

Используем формулу перехода к другому основанию логарифма: $$log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$$. Перейдем к основанию 2:

$$log_8 x = \frac{log_2 x}{log_2 8} = \frac{log_2 x}{3}$$

$$log_{\sqrt{2}} x = \frac{log_2 x}{log_2 \sqrt{2}} = \frac{log_2 x}{\frac{1}{2}} = 2log_2 x$$

Подставим в исходное уравнение:

$$\frac{log_2 x}{3} + 2log_2 x = 14$$

$$\frac{log_2 x + 6log_2 x}{3} = 14$$

$$\frac{7log_2 x}{3} = 14$$

$$7log_2 x = 42$$

$$log_2 x = 6$$

По определению логарифма:

$$x = 2^6$$

$$x = 64$$

Проверка:

$$log_8 64 + log_{\sqrt{2}} 64 = log_8 8^2 + log_{\sqrt{2}} (\sqrt{2})^{12} = 2 + 12 = 14$$

Ответ: x = 64