7. Решить уравнение log 8x + log √2 x = 14.

Решить уравнение $$log_8 x + log_{\sqrt{2}} x = 14$$.

Свойство логарифма: $$log_a x = \frac{log_b x}{log_b a}$$

$$log_8 x = \frac{log_2 x}{log_2 8} = \frac{log_2 x}{3}$$

$$log_{\sqrt{2}} x = \frac{log_2 x}{log_2 \sqrt{2}} = \frac{log_2 x}{\frac{1}{2}} = 2log_2 x$$

$$\frac{log_2 x}{3} + 2log_2 x = 14$$

$$log_2 x (\frac{1}{3} + 2) = 14$$

$$log_2 x \cdot \frac{7}{3} = 14$$

$$log_2 x = 14 \cdot \frac{3}{7}$$

$$log_2 x = 2 \cdot 3$$

$$log_2 x = 6$$

По определению логарифма: $$log_a b = c$$ $$a^c = b$$

$$x = 2^6$$

$$x = 64$$

Проверим корень: $$log_8 64 + log_{\sqrt{2}} 64 = log_8 8^2 + log_{\sqrt{2}} (\sqrt{2})^{12} = 2 + 12 = 14$$

Ответ: x = 64