Решите неравенство $$\frac{3x}{2x} - \frac{6}{x} > 4$$

Решение неравенства:

Сначала упростим дробь $$\frac{3x}{2x}$$. Если $$x
e 0$$, то $$\frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$$.

Теперь наше неравенство выглядит так: $$\frac{3}{2} - \frac{6}{x} > 4$$

Перенесем $$\frac{3}{2}$$ в правую часть:

$$-\frac{6}{x} > 4 - \frac{3}{2}$$

$$-\frac{6}{x} > \frac{8}{2} - \frac{3}{2}$$

$$-\frac{6}{x} > \frac{5}{2}$$

Умножим обе части на $$-1$$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$$\frac{6}{x} < -\frac{5}{2}$$

Теперь перенесем все в одну сторону:

$$\frac{6}{x} + \frac{5}{2} < 0$$

Приведем к общему знаменателю $$2x$$:

$$\frac{12 + 5x}{2x} < 0$$

Для решения этого дробно-рационального неравенства найдем корни числителя и знаменателя:

$$12 + 5x = 0 \Rightarrow 5x = -12 \Rightarrow x = -\frac{12}{5} = -2.4$$

$$2x = 0 \Rightarrow x = 0$$

Теперь расставим эти точки на числовой прямой и проверим знаки интервалов.

Интервалы: $$(-\infty; -2.4)$$, $$(-2.4; 0)$$, $$(0; +\infty)$$.

• При $$x < -2.4$$ (например, $$x = -3$$): $$\frac{12 + 5(-3)}{2(-3)} = \frac{12 - 15}{-6} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2} > 0$$.
• При $$-2.4 < x < 0$$ (например, $$x = -1$$): $$\frac{12 + 5(-1)}{2(-1)} = \frac{12 - 5}{-2} = \frac{7}{-2} < 0$$.
• При $$x > 0$$ (например, $$x = 1$$): $$\frac{12 + 5(1)}{2(1)} = \frac{17}{2} > 0$$.

Неравенство $$\frac{12 + 5x}{2x} < 0$$ выполняется на интервале $$(-2.4; 0)$$.

Важно: Мы предполагали, что $$x
e 0$$ при упрощении $$\frac{3x}{2x}$$. Условие $$x=0$$ итак исключено из знаменателя.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упростить дробь: $$\frac{3}{2} - \frac{6}{x} > 4$$ (при $$x
   e 0$$).
2. Шаг 2: Перенести константу: $$-\frac{6}{x} > 4 - \frac{3}{2} \Rightarrow -\frac{6}{x} > \frac{5}{2}$$.
3. Шаг 3: Умножить на -1 и сменить знак: $$\frac{6}{x} < -\frac{5}{2}$$.
4. Шаг 4: Привести к общему знаменателю: $$\frac{12 + 5x}{2x} < 0$$.
5. Шаг 5: Найти корни числителя ($$x = -2.4$$) и знаменателя ($$x = 0$$).
6. Шаг 6: Определить знаки на интервалах $$(-\infty; -2.4)$$, $$(-2.4; 0)$$, $$(0; +\infty)$$ и выбрать интервал, где выражение отрицательно.
7. Шаг 7: Записать ответ: $$(-2.4; 0)$$.

Ответ: $$(-2.4; 0)$$