1. Решите неравенство (x-1)^2 < \sqrt{2}(x-1).

Давайте решим это неравенство. **1. Перенесем все в одну сторону:** $$(x-1)^2 - \sqrt{2}(x-1) < 0$$ **2. Вынесем общий множитель (x-1) за скобки:** $$(x-1)(x-1 - \sqrt{2}) < 0$$ **3. Найдем нули выражения:** $$x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$$ $$x-1 - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow x = 1 + \sqrt{2}$$ **4. Решим неравенство методом интервалов. Отметим точки 1 и $$1+\sqrt{2}$$ на числовой прямой. Определим знаки выражения $$(x-1)(x-1 - \sqrt{2})$$ на каждом интервале:** * $$x < 1$$: $$(x-1) < 0$$, $$(x-1 - \sqrt{2}) < 0$$. Произведение двух отрицательных чисел положительно. $$(x-1)(x-1 - \sqrt{2}) > 0$$ * $$1 < x < 1+\sqrt{2}$$: $$(x-1) > 0$$, $$(x-1 - \sqrt{2}) < 0$$. Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно. $$(x-1)(x-1 - \sqrt{2}) < 0$$ * $$x > 1+\sqrt{2}$$: $$(x-1) > 0$$, $$(x-1 - \sqrt{2}) > 0$$. Произведение двух положительных чисел положительно. $$(x-1)(x-1 - \sqrt{2}) > 0$$ **5. Выберем интервал, где $$(x-1)(x-1 - \sqrt{2}) < 0$$.** Это интервал $$(1; 1+\sqrt{2})$$. **Ответ:** $$x \in (1; 1+\sqrt{2})$$.