5 Решите систему уравнений x² + xy = 10, y2 + xy = 15.

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + xy = 10 \\ y^2 + xy = 15 \end{cases}$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$y^2 - x^2 = 5$$

$$(y - x)(y + x) = 5$$

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, получим:

$$\begin{cases} 3x^2 + 3xy = 30 \\ 2y^2 + 2xy = 30 \end{cases}$$

Следовательно:

$$3x^2 + 3xy = 2y^2 + 2xy$$

$$3x^2 + xy - 2y^2 = 0$$

Пусть $$y
eq 0$$, разделим обе части на $$y^2$$:

$$3(\frac{x}{y})^2 + \frac{x}{y} - 2 = 0$$

Пусть $$t = \frac{x}{y}$$, тогда:

$$3t^2 + t - 2 = 0$$

$$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$$

$$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{6} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

$$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{6} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$

1) Если $$t = \frac{2}{3}$$, то $$x = \frac{2}{3}y$$

Подставим в первое уравнение:

$$(\frac{2}{3}y)^2 + (\frac{2}{3}y)y = 10$$

$$\frac{4}{9}y^2 + \frac{2}{3}y^2 = 10$$

$$\frac{4}{9}y^2 + \frac{6}{9}y^2 = 10$$

$$\frac{10}{9}y^2 = 10$$

$$y^2 = 9$$

$$y = \pm 3$$

$$x = \frac{2}{3} \cdot (\pm 3) = \pm 2$$

Решения: $$(2; 3), (-2; -3)$$.

2) Если $$t = -1$$, то $$x = -y$$

Подставим в первое уравнение:

$$(-y)^2 + (-y)y = 10$$

$$y^2 - y^2 = 10$$

$$0 = 10$$

Решений нет.

Ответ: $$(2; 3), (-2; -3)$$.