Решите систему уравнений x2 - xy - 2, y2 - xy - 3.

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 - xy = 2 \\ y^2 - xy = 3 \end{cases}$$

Выразим xy из первого уравнения:

$$xy = x^2 - 2$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$y^2 - (x^2 - 2) = 3$$ $$y^2 - x^2 + 2 = 3$$ $$y^2 - x^2 = 1$$ $$(y - x)(y + x) = 1$$

Выразим xy из второго уравнения:

$$xy = y^2 - 3$$

Тогда получим:

$$x^2 - (y^2 - 3) = 2$$ $$x^2 - y^2 + 3 = 2$$ $$x^2 - y^2 = -1$$ $$(x - y)(x + y) = -1$$ $$(y - x)(y + x) = 1$$

Пусть x + y = a, y - x = b.

$$ab = 1$$ $$y - x = \frac{1}{x + y}$$

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2:

$$\begin{cases} 3x^2 - 3xy = 6 \\ 2y^2 - 2xy = 6 \end{cases}$$

Приравняем левые части:

$$3x^2 - 3xy = 2y^2 - 2xy$$ $$3x^2 - xy - 2y^2 = 0$$

Разделим на y²:

$$3\frac{x^2}{y^2} - \frac{x}{y} - 2 = 0$$

Пусть t = x/y:

$$3t^2 - t - 2 = 0$$ $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$$ $$t_1 = \frac{1 + 5}{6} = 1$$ $$t_2 = \frac{1 - 5}{6} = -\frac{2}{3}$$

Случай 1: x = y. Тогда x² - x² = 2, чего быть не может.

Случай 2: x = -2/3 * y

$$x^2 - xy = \frac{4}{9}y^2 + \frac{2}{3}y^2 = 2$$ $$\frac{4}{9}y^2 + \frac{6}{9}y^2 = 2$$ $$\frac{10}{9}y^2 = 2$$ $$y^2 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$$ $$y = \pm \frac{3}{\sqrt{5}} = \pm \frac{3\sqrt{5}}{5}$$

При y = 3sqrt(5)/5:

$$x = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3\sqrt{5}}{5} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

При y = -3sqrt(5)/5:

$$x = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Ответ: ($$\frac{-2\sqrt{5}}{5}$$; $$\frac{3\sqrt{5}}{5}$$), ($$\frac{2\sqrt{5}}{5}$$; $$\frac{-3\sqrt{5}}{5}$$)