x² + xy = 10, 5 Решите систему уравнений y² + xy - 15.

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + xy = 10 \\ y^2 + xy = 15 \end{cases}$$

Выразим xy из первого уравнения:

$$xy = 10 - x^2$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$y^2 + 10 - x^2 = 15$$ $$y^2 - x^2 = 5$$ $$(y - x)(y + x) = 5$$

Выразим xy из второго уравнения:

$$xy = 15 - y^2$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$x^2 + 15 - y^2 = 10$$ $$x^2 - y^2 = -5$$ $$(x - y)(x + y) = -5$$ $$(y - x)(y + x) = 5$$

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2:

$$\begin{cases} 3x^2 + 3xy = 30 \\ 2y^2 + 2xy = 30 \end{cases}$$

Приравняем левые части:

$$3x^2 + 3xy = 2y^2 + 2xy$$ $$3x^2 + xy - 2y^2 = 0$$

Разделим на y²:

$$3\frac{x^2}{y^2} + \frac{x}{y} - 2 = 0$$

Пусть t = x/y:

$$3t^2 + t - 2 = 0$$ $$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$$ $$t_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$t_2 = \frac{-1 - 5}{6} = -1$$

Случай 1: x = 2/3 * y

$$(\frac{2}{3}y)^2 + \frac{2}{3}y^2 = 10$$ $$\frac{4}{9}y^2 + \frac{6}{9}y^2 = 10$$ $$\frac{10}{9}y^2 = 10$$ $$y^2 = 9$$ $$y = \pm 3$$

При y = 3:

$$x = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$$

При y = -3:

$$x = \frac{2}{3} \cdot (-3) = -2$$

Случай 2: x = -y

$$x^2 + xy = x^2 - x^2 = 0 = 10$$

Что невозможно.

Ответ: (2; 3), (-2; -3)